數(shù)學歸納法總結(jié)

時間：2022-10-06 14:17:42 學習總結(jié) 我要投稿

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數(shù)學歸納法總結(jié)

數(shù)學歸納法總結(jié)

數(shù)學歸納法總結(jié)

　　一、創(chuàng)設(shè)情境，啟動思維

　　情境一、財主兒子學寫字的笑話、“小明弟兄三個，大哥叫大毛……”的腦筋急轉(zhuǎn)彎等;

　　教師總結(jié)：財主的兒子很傻很天真，但他懂一樣思想方法，是什么? 以上都是由特殊情況歸納出一般情況的方法---歸納法，這就是今天的課題. 人們通常也會用歸納法思考問題，小孩也會由此總結(jié)出什么年齡人該叫爺爺，什么年齡人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.

　　情境二：華羅庚的“摸球?qū)嶒?rdquo;

　　1、這里有一袋球共12個，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請問怎么判斷?

　　啟發(fā)回答:

　　方法一：把它全部倒出來看一看.特點：方法是正確的，但操作上缺乏順序性.

　　方法二：一個一個拿，拿一個看一個.

　　比如結(jié)果為：第一個白球，第二個白球，第三個白球，……，第十二個白球，由此得到：這一袋球都是白球.特點：有順序，有過程.

　　2、如果想象袋子有足夠大容量，球也無限多?要判斷這一袋球是白球，還是黑球，上述方法可行嗎?

　　情境三: 回顧等差數(shù)列通項公式推導過程：

　　設(shè)計意圖：首先設(shè)計情境一,分析情境，自然引出課題----歸納法，談笑間進入正題.再通過情境二的交流激發(fā)學生的興趣，調(diào)動學生學習的積極性.情境三點出兩種歸納法的不同特點.通過梳理我們熟悉的一些問題，很自然為本節(jié)課主題與重點引出打下伏筆.

　　二、師生互動，探究問題

　　承上啟下：以上問題的思考和解決，用的都是歸納法.什么是歸納法? 歸納法特點是什么?上述歸納法有什么不同呢?

　　學生回答以上問題，得出結(jié)論：

　　1. 歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法. 特點：由特殊→一般;

　　2. 完全歸納法: 把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法;

　　3. 不完全歸納法: 根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法.

　　在生活和生產(chǎn)實際中，歸納法有著廣泛的應(yīng)用.例如氣象工作者、水文工作者，地震工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預測，水文預報，地震預測用的就是歸納法.

　　4. 引導學生舉例：

　　⑴不完全歸納法實例：如歐拉發(fā)現(xiàn)立體圖形的歐拉公式: (V為頂點數(shù),E為棱數(shù),F為面數(shù))

　�、� 完全歸納法實例：如證明圓周角定理時，分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況討論.

　　設(shè)計意圖：從生活走向數(shù)學，與學生一起回顧以前學過的數(shù)學知識，并在這里我安排學生舉完全歸納法的實例和不完全歸納法實例，進一步體會歸納意識，同時讓學生感受到我們以前的學習中其實早已接觸過歸納法，并引導學生積極投入到探尋論證方法過程的氛圍中.

　　三、借助史料, 引申思辨

　　問題1：已知 = (n∈N)，

　　(1) 分別求 ; ; ; .

　　(2) 由⑴你會有怎樣的一個猜想?這個猜想正確嗎?

　　問題2：費馬(Fermat)是17世紀法國著名的數(shù)學家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立作出貢獻最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對數(shù)論也有許多貢獻.他曾認為，當n∈N時，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n=0，1，2，3，4作了驗證后得到的.后來，18世紀偉大的瑞士科學家歐拉(Euler)卻證明了 =4 294 967 297=6 700 417×641，從而否定了費馬的推測.沒想到當n=5這一結(jié)論便不成立.

　　教師總結(jié): 有人說，費馬為什么不再多算一個數(shù)呢?今天我們是無法回答的.但是要告訴同學們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個數(shù)上!

　　問題3 ： , 當n∈N時，是否都為質(zhì)數(shù)?

　　驗證： f(0)=41，f(1)=43，f(2)=47，f(3)=53，f(4)=61，f(5)=71，f(6)=83，f(7)=97，f(8)=113，f(9)=131，f(10)=151，…，f(39)=1 601.但是f(40)=1 681= ，是合數(shù).

　　承上啟下：這里算了39個數(shù)不算少了吧，但還是不行!我們介紹以上兩個資料，不是說世界級大師還出錯，我們有錯就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學了，而是要找出運用歸納法出錯的原因，并研究出對策來 , 尋求數(shù)學證明.

　　教師設(shè)問：,不完全歸納法為什么會出錯?如何彌補不足?怎么給出證明呢?

　　設(shè)計意圖：在生活引例與已學數(shù)學知識的基礎(chǔ)上，進一步引導學生看數(shù)學史料，能夠讓學生多方位多角度體會歸納法，感受使用歸納法的普遍性.同時引導學生進行思辨：在數(shù)學中運用不完全歸納法常常會得到錯誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學大師都有可能如此.那么，不完全歸納法價值體現(xiàn)在哪里?不足之處如何去彌補呢? 結(jié)論正確性怎樣給出證明?學生一定會帶著許多問題進入下一階段探究.

　　四、實例再現(xiàn)，激發(fā)興趣

　　1、演示多米諾骨牌游戲視頻.

　　師生共同探討多米諾骨牌全部依次倒下的條件：

　�、� 第一塊要倒下;

　�、� 當前面一塊倒下時，后面一塊必須倒下;

　　當滿足這兩個條件后，多米諾骨牌全部都倒下.

　　再舉例：再舉幾則生活事例：推倒自行車, 早操排隊對齊等.

　　2、學生類比多米諾骨牌依順序倒下的原理，探究出證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法(建立數(shù)學模型).

　　設(shè)計意圖：布魯納的發(fā)現(xiàn)學習理論認為，“有指導的發(fā)現(xiàn)學習”強調(diào)知識發(fā)生發(fā)展過程.這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學習.另外，這個環(huán)節(jié)里，我在培養(yǎng)學生大膽猜想、類比概括能力方面實踐的不夠好.應(yīng)該讓學生在類比多米諾骨牌游戲的基礎(chǔ)上說出數(shù)學歸納法原理，教師給予肯定和補充即可。

　　事實上，情境的設(shè)計都是為學生更好的知識遷移而服務(wù)的。

　　概括能力是思維能力的核心.魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的.心理學認為“遷移就是概括”，這里知識、技能、思維方法、數(shù)學原理的遷移，突破口就是學生的概括過程.

　　五、類比聯(lián)想，形成概念

　　1、類比多米諾骨牌過程, 證明等差數(shù)列通項公式 (師生共同完成,教師強調(diào)步驟及注意點)

　　(1) 當n=1時等式成立;

　　(2) 假設(shè)當n=k時等式成立, 即 ,

　　則 = , 即n=k+1時等式也成立.

　　于是, 我們可以下結(jié)論：等差數(shù)列的通項公式對任何n∈ 都成立.

　　2.數(shù)學歸納法原理(學生表述,教師補正)：

　　(1)(遞推奠基)：n取第一個值 (例如 )時命題成立;

　　(2)(遞推歸納)：假設(shè)當n=k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論正確;(歸納假設(shè))

　　利用它證明當n=k+1時結(jié)論也正確.(歸納證明)

　　由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確，這種證明方法叫做數(shù)學歸納法.

　　3、數(shù)學歸納法的本質(zhì)：無窮的歸納→有限的演繹(遞推關(guān)系)

　　設(shè)計意圖：至此，由生活實例出發(fā)，與學生一起解析歸納原理, 揭示遞推過程.教師強調(diào)數(shù)學歸納法特點. 數(shù)學歸納法實際上是一種以數(shù)學歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個無窮的歸納過程轉(zhuǎn)化為一個有限步驟的演繹過程，是處理自然數(shù)有關(guān)問題的有力工具，一種具普遍性的方法.

　　六、討論交流，深化認識

　　例1、數(shù)列中, =1, (n∈ ), 通項公式是什么?你是怎么得到的?

　　探討一：觀察數(shù)列特點，變形解出.

　　探討二：先計算，，的值，再推測通項的公式, 最后用數(shù)學歸納法證明結(jié)論.

　　設(shè)計意圖：通過典型例題使學生探究嘗試，一方面體驗“觀察—歸納—猜想—證明”完整過程，既能鞏固歸納法和數(shù)學歸納法，也能使他們體驗數(shù)學方法，培養(yǎng)學生獨立研究數(shù)學問題的意識和能力.不同的方法也體現(xiàn)解決問題的靈活性.

　　七、反饋練習, 鞏固提高

　　(請兩位同學板演以下兩題，教師指正)

　　1、用數(shù)學歸納法證明：1+3+5+…+(2n-1)= .

　　2、首項是，公比是q的等比數(shù)列的通項公式是 .

　　3、用數(shù)學歸納法證明：時，下列推證是否正確，說出理由?

　　證明：假設(shè) 時，等式成立就是成立那么=這就是說當時等式成立，

　　所以時等式成立.

　　4、判斷下列推證是否正確，若是不對，如何改正.

　　求證：

　　證明：①當n=1時，左邊= 　右邊= ，等式成立.

　�、谠O(shè)n=k時，有

　　那么，當n=k+1時，有，即n=k+1時，命題成立

　　根據(jù)①②可知，對n∈N*，等式成立.

　　設(shè)計意圖：練習題1，2的證明難度不大，套用數(shù)學歸納法的證明步驟不難解答，通過這兩個練習能看到學生對數(shù)學歸納法證題步驟的掌握情況.這樣既可以檢驗學生的學習水平，保證不盲目拔高，同時不沖淡本節(jié)課的重點，對例題是一個很好的對比與補充.通過3，4的易錯辨析，進一步體會數(shù)學歸納法證題時的兩個步驟、一個結(jié)論，“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”.

　　八、總結(jié)歸納，加深理解

　　1、本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學歸納法;

　　2、歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，枚舉法僅局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學歸納法屬于完全歸納法;

　　3、數(shù)學歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點可概括為：兩個步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉;

　　4、本節(jié)課所涉及到的數(shù)學思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證思想.

　　九、布置作業(yè), 課外延伸

　　十、書面作業(yè)：見教材P56

　　課后思考題：

　　1. 是否存在常數(shù)a、b、c使得等式：

　　對一切自然數(shù)n都成立并證明你的結(jié)論.

　　2.是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1

　　對一切自然數(shù)n都成立?并證明你的結(jié)論(a=3,b=11,c=10)