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初等數(shù)論課程教學的改進論文
初等數(shù)論課程教學的改進論文【1】
摘 要：初等數(shù)論是大學本科數(shù)學的專業(yè)基礎課，但長期得不到足夠的重視。
究其原因，除其內容相對簡單不受師生重視外，也有課程設置不科學和課堂教學方式方法陳舊等因素。
本文旨在改進教學方法，闡述課堂教學中的經驗心得。
歸根結底，就是在備課和課堂教學的設計上下工夫，取得理想的教學質量。
關鍵詞：初等數(shù)論;教學方法;改進
初等數(shù)論是數(shù)學專業(yè)本科階段代數(shù)系列課程中的一門，與高等代數(shù)和近世代數(shù)等已得到普遍重視的情況相比，初等數(shù)論課程的重要性尚未得到充分的認識，主要體現(xiàn)在課程設置不科學、教學方法陳舊等方面，由此導致教學效果差，教學質量無法提高等諸多問題。
那么，如何改進初等數(shù)論課程的教學、改善教學效果，從而提高教學質量?本文僅就教學實踐從兩個方面談談這一問題。
一、在思想上給予初等數(shù)論以足夠的重視
初等數(shù)論是一門古老的學科，主要研究數(shù)的性質和方程的整數(shù)解，是中等數(shù)學中數(shù)的理論的繼續(xù)和提高，是中學數(shù)學與大學數(shù)學的最好銜接。
盡管其使用的方法是初等的，但應該看到其很多內容及思想為高等代數(shù)和近世代數(shù)做了很好的鋪墊，提供了抽象理論的具體實例。
初等數(shù)論為后續(xù)的代數(shù)提供了一個樣板，很多理論都要推廣到更一般的情形上去。
在整數(shù)集這個熟悉的領域中體會好代數(shù)的思想和方法，為將來學習和研究的提升做準備。
更為重要的是目前RSA公鑰體制和離散對數(shù)體制均來自初等數(shù)論，并且正在不斷采用數(shù)論更為高深的理論成果[1]。
這反映出初等數(shù)論在實踐應用上的價值。
既然初等數(shù)論課程如此重要，那么一些高校數(shù)學專業(yè)為什么會不重視這門課程?最根本的原因在于這門課程內容表面上相對淺顯，教學單位沒有從科學的角度來審視初等數(shù)論在大學數(shù)學教學中的真實作用，低估了它存在的價值，他們認為大學數(shù)學應當講授更為抽象的問題，初等數(shù)論的存在比較尷尬，因此，在課程設置上不夠突出這門課程的地位。
不但沒有將之安排在大一的第一學期講授，而且有的將其由專業(yè)必修課改成大三講授的選修課。
這種錯誤的課程設置，抹殺了初等數(shù)論這門課銜接中學與大學數(shù)學教學的橋梁作用。
此外，大三學生面對相對淺顯的數(shù)論課程，也確實提不起興趣，進而影響到教師對這門課程的備課、授課的重視程度。
這種情況馮克勤先生曾經撰文提到過，并且闡述了大一新生開設初等數(shù)論課程的理由和積極意義[2]。
遺憾的是十幾年過去了，仍沒有得到廣泛的重視。
現(xiàn)在，我們采納馮先生的建議尚不算晚，應當在具體的教學計劃上做出切實的調整，以便更好地發(fā)揮初等數(shù)論在大學數(shù)學學習與教學中的作用，進而使之在應用領域能為人熟練地應用，實現(xiàn)這門課程的價值。
教師在教學實踐上的重視程度和履行情況也至關重要。
教師不但要積極講授這門課程，而且還要下一番心思認真準備，設計好課堂教學環(huán)節(jié)，怎樣開始，怎樣展開，結尾應強調什么，知識點和相關學科知識的聯(lián)系等，這些環(huán)節(jié)都極為重要。
教師投入熱情，自然就會帶動學生的熱情，師生互動達成，取得良好的教學效果便水到渠成。
備課充分與否，教師和學生都能體會得到。
二、改進傳統(tǒng)的教學方法
傳統(tǒng)的教學方法主要集中于教師課堂講授演算、隨時提問的方式。
這種方式立足于教材本身，緊緊圍繞教學大綱，中規(guī)中矩，對數(shù)學專業(yè)課程的講授而言有它的優(yōu)勢。
對初等數(shù)論來說，情況就不同了。
上文所言，不科學的課程設置，實際上是將初等數(shù)論這門課程置于比較尷尬的地位。
其內容簡單，又在大三開設，甚至屬于選修課程。
帶來的結果是聽課的人少，學生和老師的情緒互相影響。
學生認為沒什么可聽的，過于簡單;教師認為學生一看都懂，講起來也沒什么意思，雙方的情緒都不高。
這便要求我們必須立足于這門課程在整個大學數(shù)學教學中的實際地位，采取相應的更為靈活的教學方式來改變這種狀況。
我們通過具體的教學實踐，總結了以下一些方法。
(一)增加與基本定義及定理相關內容的介紹
在課堂教學中，對基本定義及定理的背景、來源、研究動機、目的與其應用的講解是必要的。
要讓學生明白為什么要講這些內容，它們如何得來，有何應用。
如講質數(shù)問題，就要提及整數(shù)。
整數(shù)是最先接觸的數(shù)集，都以為整數(shù)是最基本的數(shù)，但中國古代數(shù)學家把質數(shù)叫做“數(shù)根”，意思是數(shù)的根本。
因為任何整數(shù)或者是質數(shù)，或者是幾個質數(shù)的積。
古希臘時代的偉大數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中就已經給出質數(shù)的若干性質。
歐幾里得給出算術基本定理在普通整數(shù)中的證明，后來高斯在復整數(shù)集{a+bi|a，b均為整數(shù)}中得出證明。
高斯曾經在《算術探究》提過：“區(qū)分質數(shù)和合數(shù)，并且將合數(shù)分解成質因子，是算術中最重要又最有意義的問題。”高斯明確指出了質數(shù)的重要性。
今天，質數(shù)理論不僅在理論上，而且在應用上日益重要。
基于大數(shù)分解方案的公開密鑰體制在信息安全領域的應用就是一個最好的證明。
把以上的相關內容向學生做一個簡略的介紹，一方面，豐富了質數(shù)問題的知識含量，另一方面強調了質數(shù)問題的重要性。
不但從數(shù)學史的角度深化了學生對質數(shù)的理解，而且調動了學生學習的積極性。
數(shù)學史方面的適度滲透，我們在教學實踐中經常會用到，效果良好。
(二)盤點每堂課的主要內容，要求學生多練習
課堂上可能學了很多東西，學生能消化吸收多少?一個學期下來學生又記住了什么?我們自己要經常問自己，更要經常問學生。
換言之，即要求學生每堂課過后要關注教師的總結，也要自己去總結。
課堂上會有一些具體細致的計算與證明，這對領會這門學科的基本方法是必要的，但不能過于執(zhí)著細的方面，以至于只記得怎樣做，而忘了要做什么和為什么要做。
要注重講系統(tǒng)的方法，并展示這些方法可以解決什么問題，同時說明為解決另一些數(shù)學問題還需要進一步發(fā)展數(shù)學。
可以在每次課的結尾盤點當天的主要內容以加深印象。
但一定要要求學生課下動手做，要多練習，使其具備一定的基本功。
學期末，教師要向學生盤點這門課程的重點內容。
初等數(shù)論都能讓我們想到什么，哪些是這門課程的精髓。
初等數(shù)論的重點是算數(shù)基本定理、中國剩余定理、模n的剩余類、歐拉定理(費馬定理)、高斯二次互反律等。
(三)營造良好的課堂氛圍
相對而言，初等數(shù)論這門課內容簡單，易于達成師生間的良性溝通，營造出活躍的課堂氛圍。
但不同授課內容，學生的反應會有所不同。
有時學生會對某個問題較為敏感，思維也比較活躍，能夠積極思維并參與討論，帶動其他同學，帶動整個課堂氣氛，這樣的教學效果肯定是好的。
有時學生會對接受的內容產生諸多疑問，因此，表面上課堂并不活躍，大家都在默默地、積極地思考，沉浸在一種數(shù)學的氛圍之中。
這種課堂氛圍同樣能達到理想的授課效果。
(四)調動學生參與到應用數(shù)論解決簡單的實踐活動中去
初等數(shù)論課是一門可以充分展示學生個性的課。
作業(yè)中會發(fā)現(xiàn)對同一個題目，他們可能有很多種做法，應該對他們給予鼓勵，使他們有成就感，進一步提高學生學習的積極性。
另外，數(shù)論課還可以讓學生編一些解決問題的算法。
比如，編程解決素數(shù)判定(當然是適當大的數(shù)以內的)、最大公因數(shù)的求解、一次同余式的求解。
在全班同學范圍內編一個密鑰表來模仿公開密鑰體制給學生發(fā)加密信息等。
可以讓學生互相比較誰的算法好、速度快，這些既鍛煉了學生的編程能力，又提高學生的學習興趣，同時也培養(yǎng)學生自主學習的能力。
除了上述四個方面外，我們還針對教學中的具體情況采取一些方法。
如針對不同層次學生的需求，如何做到因材施教的問題。
這是涉及既能保證普遍的教學質量，又能注重優(yōu)秀學生培養(yǎng)的一個老問題[3]。
有的學生天賦好、基礎好，常常會有與眾不同的想法、問題，要積極引導他們，鼓勵他們多讀書，讀好書。
鼓勵他們就感興趣的問題查閱文獻資料，這可能同時涉及其他課程、其他學科，也能拓展他們的知識面，讓他們感受到數(shù)學的應用以及學科之間的關聯(lián)。
在初等數(shù)論課堂教學改進的過程中，我們發(fā)現(xiàn)利用這門課程的教學適時地向學生滲透數(shù)學的某些思想是有效果的。
通過這門課程的教與學，很多學生都明白了數(shù)學教學的過程是教師引導他們學習前人得到的概念、定理及方法的過程。
這些理論的敘述都是倒敘式的，與前人得到的順序是相反的。
師生雖然不能完全模擬當年數(shù)學家的思維過程，也應盡量一起分析這個問題的產生、可能的解決思路，最終方法的確定，一同回味和享受這個過程。
這一過程對他們更好地理解理論、體會思想、學習方法、培養(yǎng)興趣都是非常重要的。
另外，這樣做有利于培養(yǎng)學生學習的研究能力[4]。
記得有一位老師說過，基礎課教學的探討永無止境。
我們只能探索、改進、再探索、再改進。
參考文獻：
[1]馮克勤.高校代數(shù)教學的一些實踐與思考[C]//大學數(shù)學課程報告論壇論文集.北京：高等教育出版社，2005：49-52.
[2]馮克勤.高校代數(shù)課教學的一些作法和看法[J].大學數(shù)學，2004，(5).
[3]曹重光.高等代數(shù)課程建設與改革[J].中國科教創(chuàng)新導刊，2008，(29).
[4]曹重光，張顯，唐孝敏，生玉秋.高等代數(shù)課程建設與改革[J].黑龍江教育：高教研究與評估，2005，(7).
初等數(shù)論的教學實踐與思考【2】
近年來，初等數(shù)論在計算機科學、組合數(shù)學、密碼學、代數(shù)編碼、計算方法等領域得到了廣泛的應用，同時近代數(shù)學中許多重要的思想、概念、方法與技巧都是從對整數(shù)性質的深入研究中不斷豐富和發(fā)展起來的。
因此，學習這門課程對學生來說非常重要，與其它數(shù)學專業(yè)課程比較來看，初等數(shù)論似乎很簡單，但根據(jù)其涉及的題目卻形式多樣，解題時需要一定的技巧，所以真正教好、學好它并不容易。
如何調動學生學習的積極性，在教學過程中如何啟發(fā)引導學生，提高初等數(shù)論的教學效果，對學生進一步的學習和畢業(yè)以后的教學研究和實踐有重要的意義。
一、挖掘教材中的隱性知識，拓寬學生知識面
教材中的知識可以分成兩類：一類是表述相對明顯，能被學生直接解讀、理解的知識;另一類是沒有直接表述出來的知識，需要經過教師的點撥、講解才能彰顯出來，才能被學生理解，即我們通稱的隱性知識。
在注重知識應用能力培養(yǎng)的今天，教師很有必要在教學實踐中對教材中的隱性知識進行充分的挖掘。
《初等數(shù)論》的內容簡明、語言精練，由此造成了不少的隱性知識。
如在書本31頁有這樣一道習題：證明：二元一次不定方程ax+by=N，(a，b)=1，a>1，b>1，當N>ab-a-b時，有非負整數(shù)解。
N=ab-a-b時則不然。
如果教師在教學中稍加引導，則不難得到如下兩個結論：①不能表示成形如ax+by{(a，b)=1，a>1，b>1}的最大正整數(shù)為N=ab-a-b;②使ax+by=N無非負整數(shù)解的最大正整數(shù)N=ab-a-b。
教材中這樣的隱性知識很多，教師如能充分挖掘，便可拓寬學生的知識面，而且能增加學生對初等數(shù)論的學習興趣。
二、注重知識點間的聯(lián)系，橫向輻射
任何知識點都不是孤立存在的，都與周圍其他知識點處于相互聯(lián)系中。
同時，構成某個知識點的各個要點也不是散亂的一團，而是相互依存、有機聯(lián)系在一起的。
老師在教學時一定要注意到知識點與知識點之間的聯(lián)系，以點帶動面，以面帶動板塊，以板塊進行輻射，萬不可把知識點進行人為的孤立，無論對于學生的思維連貫性與廣度，都是非常不利的。
例如，《初等數(shù)論》第三章的第四節(jié)的后面部分介紹了一個既約分數(shù){0但是，書本告訴我們的知識遠遠不止這些。
對于循環(huán)小數(shù)，小學數(shù)學中就有介紹，站在初等數(shù)論中的理論高度來說，小學的內容是缺乏一定的嚴謹性的，當然也有一定的局限性。
談到既約分數(shù)與小數(shù)的互化，我們自然會思考下面的兩個問題：任意給定一個分數(shù)，它可以化成怎樣的小數(shù)?任意給定一個小數(shù)，它是否一定可以化成分數(shù)?第一個問題涉及到小數(shù)的分類，第二個問題涉及到能夠表示成分數(shù)的小數(shù)的特征。
不難回答，我們可以把小數(shù)分成有限小數(shù)與無限小數(shù)，無限小數(shù)又可以分為循環(huán)小數(shù)與無限不循環(huán)小數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是不能表示成分數(shù)的，也就是我們所說的無理數(shù)。
在講授這部分內容時，我們可以嘗試補充一下內容，相信這樣的教學會比之前更精彩，內容也更豐富，也更具吸引力。
三、把握知識的整體結構，縱向延伸
同一主題的知識點由于課程安排的需要，被放在不同的章節(jié)中。
隨著學習的深入，有關這一主題的內容不斷出現(xiàn)，雖然內容有所不同，但其前后相繼的聯(lián)系非常密切。
如果細心分析，就會發(fā)現(xiàn)它們是貫穿教材前后的一條線索。
教師在教學中如果能夠把相關內容串聯(lián)起來，給學生一個清晰的脈絡，同時鼓勵學生主動去尋找各個知識點之間的聯(lián)系，那么這將有助于學生從更高層次上把握教材的體系，構建相應的知識網絡，使各知識點系統(tǒng)化、專題化。
同余是數(shù)論中的重要概念，同余理論是研究整數(shù)問題的重要工作之一。
同余式性質應用非常廣泛，在處理某些整除性、進位制、對整數(shù)分類、解不定方程等方面的問題中有著不可替代的功能，與之密切相關的的數(shù)論定理有歐拉定理、費馬定理和中國剩余定理。
例如，在第四章§1基本概念及一次同余式中，教材給我們介紹了求解一次同余式的一般方法：將求解ax=b(modm)轉化為：求解二元一次不定方程ax-mt=b。
在求解不定方程時，我們需要用到輾轉相除法，但是在不定方程的測驗中，發(fā)現(xiàn)學生用輾轉相除法時很容易用過頭：往往“不小心”計算到了余數(shù)為0的最后一個商，這樣算出來的結果自然就不對了。
所以在教學過程中，我們可以引導學生聯(lián)系各知識點，積極尋找求解一次同余式更為簡單、易于操作的方法。
四、聯(lián)系生活，注重知識應用
數(shù)學是一種工具，是一種將自然、社會運動現(xiàn)象法則化、簡約化的工具。
數(shù)學學習的最重要成果就是學會建立數(shù)學模型，用以解決實際問題。
數(shù)學教學的任務就是教人掌握這一工具并學會利用這一工具，對于初等數(shù)論教學當然也不例外。
通過了解初等數(shù)論知識在實際中的廣泛運用，可以培養(yǎng)學生濃厚的學習興趣，自然學生參與學習的積極性提高，教學也能收到良好的效果。
例如，將一根30米長的鋼材，截割成規(guī)格分別為2米，3米和8米的較短的料，每種規(guī)格的料至少有1根，問怎樣截才能使原來的鋼材恰好用完?
解：設2米，3米，8米的料分別截x，y，z根，根據(jù)題意有：2x+3y+8z=30因為每種規(guī)格的料至少1根，所以應求方程的正整數(shù)解。
與解二元一次不定方程一樣，求三元一次不定方程的正整數(shù)解，可以先求它的通解，通過解一個二元一次不等式組，得到通解中兩個參數(shù)的取值范圍，從而找出原不定方程相應的正整數(shù)解，但解二元一次不等式組比較麻煩，這里運用逐次嘗試法，先確定其中一個未知數(shù)的取值范圍，然后對所取正整數(shù)值逐一試驗求解。
在教學過程中，應充分利用教材和習題，從教學內容特點、教學對象的特點、教學資源等方面不斷探索、研究和改善，才能加強對學生獲取知識、發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，才能提高學生的綜合素質，才能建立一個良好的初等數(shù)論教學新模式。
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