對不定積分計算方法的思考

　　為大家獻上對不定積分計算方法的思考，歡迎各位數(shù)學(xué)畢業(yè)的同學(xué)閱導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用!

　　摘 要： 本文通過分析不定積分計算教與學(xué)中的困難，提出老師和學(xué)生要注意的問題，并對幾種常用方法作了分析。

　　關(guān)鍵詞： 不定積分計算 困難 分析 常用方法

　　不定積分是大學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)于計算問題的一個重要內(nèi)容，是定積分、重積分、線面積分計算、微分方程求解的基礎(chǔ)。因此，熟練掌握不定積分的計算方法與技巧，對于學(xué)好高等數(shù)學(xué)是十分必要的，然而它的計算卻存在著一定的難度。

　　一、不定積分計算的困難及分析

　　不定積分計算的困難首先是由其概念本身帶來的，因為從求導(dǎo)的逆運算引進，造成了它的計算是非構(gòu)造性的一類運算，它與求導(dǎo)相比有著顯著的不同，求導(dǎo)有一定的公式可套，但求不定積分并非如此。

　　不定積分計算的困難還在于錯誤的思考方法，對于學(xué)生來說，解題往往通過“猜”的方式，猜原函數(shù)，這顯然相當?shù)睦щy;在老師方面，不定積分的教學(xué)也是一個難點，老師的任務(wù)是理出方法，教會學(xué)生如何理解方法，而不是憑感覺�，F(xiàn)實存在的問題有兩個：一是當在指定讓學(xué)生用哪種方法解決時，學(xué)生可以做到，但如果把方法混在一起，學(xué)生往往不知道用哪種方法;二是在當時學(xué)生會解決的題目，時間久了，學(xué)生就忘記了。原因都在于學(xué)生沒有真正理解透各種方法的本質(zhì)特點，面對問題時，不知道怎么根據(jù)其特征選擇適當?shù)姆椒ā?/p>

　　二、不定積分計算的方法思考

　　在介紹積分方法時，老師首先應(yīng)提醒學(xué)生注意被積函數(shù)的多樣性，而不同類型的被積函數(shù)就需要不同的積分方法來解決，對于一個給定的f(x)，要求f(x)dx，這是一個未知的問題，從宏觀上說我們要將未知的問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識來討論。那么就存在兩個問題：已知的是什么?怎么轉(zhuǎn)化過去?

　　課本根據(jù)求導(dǎo)與不定積分的關(guān)系由基本求導(dǎo)公式給出了積分基本公式，它們可以作為已知的知識，那么不能直接由積分公式解決的問題，就要通過幾種轉(zhuǎn)化方法轉(zhuǎn)化到現(xiàn)有的公式上，轉(zhuǎn)化的依據(jù)要根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)化方法的特點。常用方法有以下幾種。

　　1.基本變形。這個方法是由不定積分的性質(zhì)線性引出的，只要做恒等變形就可以將要求的不定積分轉(zhuǎn)化到基本積分公式中去，它的特點就是多個變單個。

　　2.湊微分法。顧名思義，關(guān)鍵在于一個“湊”字，如果能想到如何“湊”，則題目會迎刃而解，若想不到方法，則會無處入手。因此，歸納并熟記常用的湊微分公式是十分必要的。

　　老師在講解這個方法的時候可以先通過幾個簡單的湊微分的例子引出湊微分這個方法，以形象地觀察出湊微分法的本質(zhì)、特點，書上給出的定理是比較抽象的，在對其證明中，可以采取比較通俗的方式，如：要驗證f[φ(x)]・φ′(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[φ(x)]+C是否成立，只要驗證(F[φ(x)]+C)′=f[φ(x)]・φ′(x)是否成立。

　　如果成立，則證明了該定理，也證明了前幾個例子的做法是正確的。再結(jié)合例子和定理歸納出湊微分法的特點就是“變元再協(xié)同”。

　　有些例題要“湊”多次，老師可以舉相關(guān)例題讓學(xué)生充分體會湊微元法的本質(zhì)特點是變元再協(xié)同中的“再”，總的來說湊微元法就是一個“變元再協(xié)同”的過程。

　　3.變量代換法。從被積函數(shù)中會發(fā)現(xiàn)一些難以處理的因式，使用湊微元怎么也協(xié)同不了，在講解這個方法的時候可以先舉幾個這樣的例子，告訴學(xué)生思考這個問題的方法，多列幾個學(xué)生就會知道想辦法去掉難以處理的因式，當然是有多種代換方法的。在學(xué)生接受了這種思路后再給出定理，證明手段類似湊微元的證明。

　　例1：求.

　　思路一：被積函數(shù)中既有x，又含有x，所以我們想辦法通過變元都協(xié)同到x上，然后再觀察，再協(xié)同。

　　解一：===

　　=d=d

　　=arctan+C

　　思路二：考慮被積函數(shù)中含有根號，想辦法去掉根號，使用三角代換很容易將其算出。

　　觀察這兩種方法的各自特點，第一種思路它比較難想到，但計算起來比較簡單，第二種方法它雖然操作起來相對麻煩一些，但指向性非常明確。三角換元法一般是把被積函數(shù)中含有的，，，分別用x=asint，x=atant，x=asect做變換去掉根式，沒有太多的技巧，但是有些含有這樣根式的不定積分不需要采取變量代換的方法，例如xdx，dx，被積函數(shù)中含有了比較難處理的因式，而變量代換就是起到一個去掉難處理的因式的作用，但在有些題目中只要用湊微元做就可以了，提醒學(xué)生不要犯教條。

　　4.分部積分。其基本公式為udv=uv-vdu，此方法用于求udv不易，而求vdu較易的題目。在運用分部積分法關(guān)鍵是u與dv的選取，掌握此方法的一個關(guān)鍵在于你要對哪個求導(dǎo)，du是一個局部求導(dǎo)，求導(dǎo)之后要方便運算才有意義。

　　例2：求xedx.

　　分析：被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)e與三角函數(shù)x的乘積，用分部積分有兩種方案：xedx=edx=ex-xdexde，第一種方案是對e局部求導(dǎo)，而我們知道對它求導(dǎo)還是本身，所以解決不了根本問題，所以學(xué)生在做題的時候要思考到底對誰局部求導(dǎo)能達到目的，這題中對x局部求導(dǎo)就可以去掉這個因式，所以選擇第二種方案。

　　這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求我們要對各類積分法進行總結(jié)比較，分析各類積分方法的特征，達到掌握并熟練運用的目的。

　　參考文獻：

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　　[2]仉志余.大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用教程(上冊)[M].北京大學(xué)出版社，2006.8.

　　[3]夏磊.不定積分在高職教學(xué)中的教學(xué)淺析[J].教育研究與實踐，2008，(12).

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