數(shù)學(xué)專業(yè)開題報(bào)告

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2015數(shù)學(xué)專業(yè)開題報(bào)告

　　題目：常微分方程求解中的積分因子法研究

2015數(shù)學(xué)專業(yè)開題報(bào)告

　　一、選題的目的及研究意義

　　數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史告訴我們，300年來數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)的首要分支，而微分方程又是數(shù)學(xué)分析的心臟，它還是高等分析里大部分思想和理論的根源。人所共知，常微分方程從它產(chǎn)生的那天起，就是研究自然界變化規(guī)律、研究人類社會(huì)結(jié)構(gòu)、生態(tài)結(jié)構(gòu)和工程技術(shù)問題的強(qiáng)有力工具。

　　二、綜述與本課題相關(guān)領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀、發(fā)展趨勢(shì)、研究方法及應(yīng)用領(lǐng)域等

　　(1)相關(guān)領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀;

　　20世紀(jì)30年代直至現(xiàn)在，是常微分方程各個(gè)領(lǐng)城迅速發(fā)展、形成各自相對(duì)獨(dú)立的而又緊密聯(lián)在一起的分支學(xué)科的時(shí)期。

　　1927-1945年間定性理論的研究主要是跟無線電技術(shù)聯(lián)系在一起的。第二次世界大戰(zhàn)期間由于通訊等方面的要求越來越高，大大地激發(fā)了對(duì)無線電技術(shù)的研究，特別是非線性振動(dòng)理論的研究得到了迅速的發(fā)展。

　　40年代后數(shù)學(xué)家們的注意力主要集中在抽象動(dòng)力系統(tǒng)的拓?fù)涮卣? 如閉軌是否存在、結(jié)構(gòu)是否穩(wěn)定等, 對(duì)于二維系統(tǒng)已證明可以通過奇點(diǎn)及一些特殊的閉軌和集合來判斷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與否;而對(duì)于一般系統(tǒng)這個(gè)問題尚未解決。在動(dòng)力系統(tǒng)理論方面, 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家廖山濤教授, 用從典范方程組到阻礙集一整套理論和方法, 解決了一系列主要問題, 特別是C’封閉引理的證明, 對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的充要條件等方面都作出了主要貢獻(xiàn)。

　　在當(dāng)代由電力網(wǎng)、城市交通網(wǎng)、自動(dòng)運(yùn)輸網(wǎng)、數(shù)字通訊網(wǎng)、靈活批量生產(chǎn)網(wǎng)、復(fù)雜的工業(yè)系統(tǒng)、指令控制系統(tǒng)等提出大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常微分方程組描述的。對(duì)這些系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究, 引起了越來越多學(xué)者的興趣, 但目前得到的成果仍然只是初步的目前常微分方程的研究領(lǐng)城比以往任何時(shí)候都廣泛，大致有九個(gè)分支學(xué)科：一般理論;邊值問題;定性理論;穩(wěn)定性理論;泛函微分方程和差分方程;微分方程的漸近理論;巴拿赫空間及其他抽象空間的微分方程;控制理論問題以及隨機(jī)微分方程和方程組。這些領(lǐng)域都有不少數(shù)學(xué)家在從事工作，每年發(fā)表的文獻(xiàn)總數(shù)在1000篇以上.例如，一般理論仍然是常微分方程最活躍的領(lǐng)城之一。近二十年來，由于研究繼電控制系統(tǒng)等實(shí)際問題提出了一類右端不連續(xù)常微分方程系統(tǒng)和廣義常微分方程。由此就要求對(duì)解重新定義, 即廣義解的定義問題。與此同時(shí)又提出這類解的存在性、唯一性問題。再如，在自動(dòng)控制、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)城中提出了一類數(shù)學(xué)模型, 類似一般的常微分方程, 但其解的未來狀態(tài), 不僅依賴于初始狀態(tài), 而且與過去的狀態(tài)有關(guān)。這些數(shù)學(xué)模型被概括為所謂泛函微分方程(Funstion Diff,Eqs,簡(jiǎn)寫為FDE)，成為常微分方程的重要分支學(xué)科。這類方程早在1750年歐拉就已經(jīng)提出，但20世紀(jì)前只有個(gè)別工作，1900年—1948年間從各個(gè)方面提出的FDE逐漸增多，但仍未成為一個(gè)獨(dú)立分支。1949年后貝爾曼(R.Bellman，1920,8,20，美國(guó)數(shù)學(xué)家)等建立了普遍存在唯一性、穩(wěn)定性定理后，才成為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。目前這類方程的穩(wěn)定性同樣是頭等重要的問題。

　　(2)發(fā)展趨勢(shì)

　　微分方程是表達(dá)自然規(guī)律的一種自然的數(shù)學(xué)語言。它從生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)技術(shù) 中產(chǎn)生，而又成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中分析問題與解決問題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具。

　　(3)研究方法及應(yīng)用領(lǐng)域;

　　人們?cè)谔角笪镔|(zhì)世界某些規(guī)律的過程中，一般很難完全依靠實(shí)驗(yàn)觀測(cè)認(rèn)識(shí)到該規(guī)律，反而依照某種規(guī)律存在的聯(lián)系常常容易被我們捕捉到，而這種規(guī)律用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，其結(jié)果往往形成一個(gè)微分方程，而一旦求出方程的解，其規(guī)律則一目了然

　　三、對(duì)本課題將要解決的主要問題及解決問題的思路與方法、擬采用的研究方法(技術(shù)路線)或設(shè)計(jì)(實(shí)驗(yàn))方案進(jìn)行說明

　　(1)將要解決的主要問題及其思路方法;

　　利用積分因子存在的充要條件定理及某些特殊性質(zhì)，對(duì)幾類特殊的微分方程及一般的微分方程的積分因子法進(jìn)行討論，這是一種非常有效的方法，能使問題簡(jiǎn)單化并易求得一階微分方程的通解。

　　(2)研究方法;

　　充分利用網(wǎng)絡(luò)資源及校圖書館的資料，并對(duì)材料歸納總結(jié)，還要結(jié)合自己的見解。如果在寫的過程中遇到不懂的問題，將會(huì)和指導(dǎo)老師研究，直到問題解決。

　　四、檢索與本課題有關(guān)參考文獻(xiàn)資料的簡(jiǎn)要說明

　　[1]王高雄等編著.常微分方程[M]. 北京:高等教育出版社.2006(第三版)P55-60

　　[2]西南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)學(xué)院.常微分方程[M].西南師范大學(xué)出版社.P74-89

　　[3]王善維.關(guān)于一階微分方程的積分因子問題.河北輕化工學(xué)院學(xué)報(bào).1997年第18卷第3期

　　[4]楊宗永.用積分因子法試解一階微分方程.成都紡織高等�？茖W(xué)校學(xué)報(bào).1994年10月第11卷第4期

　　[5]楊淑娥.一階微分方程的積分因子解法.彭城職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào).2000年3月第15卷第1期

　　[6]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)分析(上、下)[M].北京：高等教育出版社.2001(第三版).